与单位圆内接三角形的心有关的平面几何常识

单位圆上给出 \((\cos\theta_1,\sin\theta_1),(\cos\theta_2,\sin\theta_2),…,(\cos\theta_n,\sin\theta_n)\) 这 \(n\) 个互不相同的点，任选三个构成三角形，求解问题。
【例1】九点圆圆心的期望
科普：九点圆是指三边中点的外接圆
性质：九点圆圆心等于垂心和重心的中点

所以相当于求重心的期望。
重心坐标公式：\(\frac {A+B+C}3\)

剩余略。
【例2】内接圆圆心的期望
性质：三角形三条角平分线与外接圆的交点的垂心
外接圆圆心为原点的三角形的垂心坐标公式：\(A+B+C\)

计数部分，平方做法为枚举三角形的两个顶点计算弧中点的贡献（注意有两个弧中点）；线性做法为化简算式：

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